Probabilidad en dados X Wing Dice probability

¡Saludos pilotos!
Hoy quería mostrar un poco las distintas probabilidades que existen con los dados de X-Wing y los tokens que tengamos listos para utilizar.
Para ello hice dos tablas calculando el porcentaje de éxito que tenemos dependiendo de cuántos dados vayamos a lanzar.



Hay 2 tablas, están al final, una de impactos (incluyendo siempre los críticos) y otra de defensa o evasión, como queráis llamarlo.

Primero veamos cómo he realizado los cálculos y luego analizaremos los datos. Esta parte es aburrida así que si no os interesa id, como siempre, a la sección ``Al granooooo´´ con tablas/análisis que hay abajo.

CÁLCULO DE PROBABILIDAD

Es algo sencillito, tan solo hay que dividir el  nº de eventos deseados entre el nº eventos totales.
Todos sabemos que los dados de ataque tienen 8 caras: 2 caras blancas + 2 caras de concetración + 3 caras de daño + 1 cara de crítico. En total hay 4 impactos y 4 fallos, si tenemos concetración entonces 6 impactos y 2 fallos. En base a esto calculamos todo.

1 DADO

Nº de eventos deseados  / Nº eventos totales.

Fácil, al haber un dado tendremos en total 8 eventos totales.
4 Impactos sin modificar (incluyendo crítico) divididos entre 8 eventos posibles = 0,5, multiplicamos x100 y tenemos un 50% de probabilidad de lograrlo.
Asumiendo que utilizaremos un token de concentración: 6 Impactos dividido entre 8 eventos posibles  tenemos un 75% de probabilidad de lograrlo.

2 DADOS

Se complica un pelín. No podemos sumar la probabilidad de los dados por separado. Hay que ver cuántos eventos totales hay.
El número de combinaciones posibles entre ambos dados es de 8x8=64 eventos posibles.

Ahora calculamos el nº de eventos que queremos. Primero la probabilidad para tener 1 impacto y luego de 2 impactos.
Para esto hay que tener en cuenta que Impacto de dado A + Fallo de dado B es un evento diferente a Fallo de dado A + Impacto de dado B aunque el resultado es el mismo.

0 impactos: 4 caras de fallo dado A X 4 caras de fallo dado B   16/64= 25%

1 impacto: 4 caras de impacto dado A X 4 caras de fallo dado B   +   4 caras de fallo dado A X 4 caras de impacto dado B       36/64=50%

2 impactos: 4 caras de impacto dado A X 4 caras de impacto dado B   16/64= 25%

Asumiendo que tenemos concentración

0 impactos: 2 caras de fallo dado A X 2 caras de fallo dado B   4/64= 6.25%

1 impacto con concentración: 6 caras de impacto dado A X 2 caras de fallo dado B + 6 caras de fallo dado A X 2 caras de impacto dado B    24/64= 37.5%

2 impactos con concentración: 6 caras de impacto dado A X 6 caras de impacto dado B     36/64= 56,25%


3 DADOS

Nº de eventos posibles 8x8x8= 512

0 impactos: 4 caras de fallo dado A X 4 caras de fallo dado B X 4 caras de fallo dado C   64/512=12,5%

1 impacto: 4 caras de impacto dado A X 4 caras de fallo dado B X 4 caras de fallo dado C + 4 caras de fallo dado A X 4 caras de impacto dado B X 4 caras de fallo dado C + 4 caras de fallo dado A X 4 caras de fallo dado B X 4 caras de impacto dado C    192/512 = 37.5%

2 impactos: 4 caras de impacto dado A X 4 caras de impacto dado B X 4 caras de fallo dado C + 4 caras de fallo dado A X 4 caras de impacto dado B X 4 caras de impacto dado C + 4 caras de impacto dado A X 4 caras de fallo dado B X 4 caras de impacto dado C     192/512 =37.5%

3 impactos: 4 caras de impacto dado A X 4 caras de impacto dado B X 4 caras de impacto dado C = 12,5%

 Asumiendo que tenemos concentración

0 impactos: 2 caras de fallo dado A X 2 caras de fallo dado B X 2 caras de fallo dado C   8/512=1.56%

1 impacto: 6 caras de impacto dado A X 2 caras de fallo dado B X 2 caras de fallo dado C + 2 caras de fallo dado A X 6 caras de impacto dado B X 2 caras de fallo dado C + 2 caras de fallo dado A X 2 caras de fallo dado B X 6 caras de impacto dado C  72/512 = 14,06%

2 impactos: 6 caras de impacto dado A X 6 caras de impacto dado B X 2 caras de fallo dado C + 2 caras de fallo dado A X 6 caras de impacto dado B X 6 caras de impacto dado C + 6 caras de impacto dado A X 2 caras de fallo dado B X 6 caras de impacto dado C  216/512=42,18%

3 impactos: 6 caras de impacto dado A X 6 caras de impacto dado B X 6 caras de impacto dado C  216/512 = 42.18%


4 DADOS

4096 posibles eventos. No pienso escribirlo, me daría un ictus hemorrágico al escribir las cuentas de los posibles eventos, me limito a poner la estadística.

0 impactos 6,25%
1 impacto 25%
2 impactos 37,5%
3 impactos 25%
4 impactos 6,25%

Asumiendo que tenemos concentración

0 impactos 0,39%
1 impacto   4,68%
2 impactos 21,1%
3 impactos 42,18%
4 impactos 31,64%


5 DADOS

32768 posibles eventos.

0 impactos  3,12%
1 impacto  15,62%
2 impactos 31,25%
3 impactos 31,25%
4 impactos 15,62%
5 impactos 3,12%

Asumiendo que tenemos concentración

0 impactos  0,097%
1 impacto  1,46%
2 impactos  8,78%
3 impactos 26,36%
4 impactos  39,55%
5 impactos  23,73 %

Una vez hecho vamos con los dados de defensa solo que pongo la tabla directamente.

Blanco fijado
Sí, lo estaréis pensando. ¿Y si tengo blanco fijado? Fácil, mira cuántos dados vas a volver a tirar y repites la operación. Prefiero recordar algunos porcentajes con/sin concentración que calcular el doble de porcentajes con blanco fijado y tener que hacer más memoria.

El blanco fijado es claramente inferior si debemos elegir entre BF y concetración, por eso no he realizado una tabla. Sumados BF + concentración se eleva bastante el porcentaje de acierto.
Así se calcula.

100 - porcentaje, dividid entre 100, elevad el resultado al cuadrado, -1, y multiplicáis por 100 (cambiando el signo de esa cifra a positiva claro). Este es el porcentaje de BF aplicado a la tabla. 

Por ejemplo, tenemos un 56,25% de impactar 2 veces al tirar 2 dados (según la tabla).

Calculamos:
100 - 56.25= 43,75      (como curiosidad, este es el porcentaje de que NO ocurra)
43.75/100= 0.4375
0.4375 * 0.4375=  0.1914       (o sea, elevar al cuadrado y redondeamos un poco)
0.1914 - 1=  0.8085      (Nos sale el resultado negativo pero le cambiamos el signo a positivo)
0.8085  * 100 =  80,85%            

Ejemplo:
Si tuviéramos Blanco Fijado + Concentración (usándolos claro) y tuviéramos que tirar dos dados de ataque:

- Probabilidad de blanquear al menos una vez alguna de las dos tiradas: 12.1%
- Probabilidad de obtener exclusivamente 1 impacto en alguna de las 2 tiradas: 60,1%
- Probabilidad de obtener exclusivamente 2 impactos en alguna de las dos tiradas: 80,85%

Alguno pensará: ``pero bueno, unos porcentajes que si los sumas entre ellos sobrepasan el 100%´´ Claro, estamos tirando 2 veces mostrando el resultado de un único evento, de las 4096 combinaciones que hay de 2 tiradas con 2 dados, muchos ``dobles impactos´´ aparecen junto a ``un impacto´´, y el porcentaje por separado suma ambas opciones, elevando el porcentaje de ambas a la vez.

La estadística del blanco fijado es, a mi punto de ver, confusa (subjetivamente hablando).
Comparando concentración con blanco fijado tirando un dado, la probabilidad es la misma, un 75% de obtener el resultado.
Pero al hablar de más dados, las fórmulas matemáticas calculan la probabilidad de que un evento (por ejemplo, 2 impactos) aparezca alguna vez en 2 tiradas, es imposible saber cuántos dados vas a necesitar tirar una segunda vez, porque la probabilidad cambia.

Teniendo Blanco fijado + concentración sé que tengo un 80% de que en alguna de las 2 tiradas saque doble impacto. Tiro dados, salen 0 impactos. Vale, ahora tiro otra vez dado sabiendo que tengo un 56.25% de lograr doble impacto.

Por eso, a mi parecer, estas estadísticas pueden ser confusas.


AL GRANOOOOO

Resumen de blanco fijado: Eleva todos los porcentajes de esta tabla, os dejo una fórmula para que apliquéis a esta tabla. (este nuevo porcentaje os dirá la probabilidad que hay de que salga alguna vez esa tirada exclusivamente si tiráis 2 veces los dados).

100 - porcentaje, dividid entre 100, elevad el resultado al cuadrado, -1, y multiplicáis por 100 (cambiando el signo de esa cifra a positiva claro). Este es el porcentaje de BF aplicado a esta tabla. 

Tabla de dados de ataque. Porcentajes asumiendo que no tenemos concentración y asumiendo que gastaremos la concentración.

Es muy interesante ver que, ante una tirada muy común de 3 dados, la probabilidad de sacar 2 o 3 impactos con concentración es... ¡la misma! Realicé la operación varias veces y es correcta.
Es muy fácil descubrir que la concentración eleva nuestra posibilidad de meter impactos.


Tabla de dados de defensa/esquiva. Porcentajes asumiendo que no tenemos concentración y asumiendo que gastaremos la concentración.

Muy curioso que, al lanzar dados pares, la probabilidad de evadir la mitad de ellos con o sin concetración es la misma (si lanzas 4 dados, es igual de probable esquivar 2 sin concetración que con ella).

El dado defensivo tiene una cara blanca más, lo que lo hace inferior al de ataque a la hora de compararlos. Estadísticamente, el defensor siempre tendrá menor probabilidad de conseguir esquivas frente a la probabilidad de impactar de los dados de ataque.

Vamos a hacer preguntas útiles:

¿Acción de esquiva o concentración?

La acción de esquiva siempre nos da la opción de tener un dado automático más. A partir de ahí, vemos la probabilidad de lograr la misma cantidad de esquivas.


Con un dado está claro amigo, 100% probabilidad de esquivar con una acción de esquiva (bravo). Además opción a esquivar una 2º vez.


Con dos dados tienes un 39.06% de esquivar 2 veces con concentración y un 60,93% de esquivar al menos 1 vez sin concentración (sumamos opción esquiva x1 de la tabla y opción esquiva x2) y 1 adicional por la acción de esquiva. Es rentable realizar esquiva.
La concentración nos asegura más bien esquivar al menos 1 vez.


Con tres dados ocurre la magia. Es igual de probable esquivar 2 veces concentrados, que 1 vez sin concentrar teniendo esquiva, un 43,94%.
Aquí decidimos, buscando la meta de tener 3 esquivas, concentrados tenemos un 24,41% de lograrlo.
Haciendo acción de esquiva tenemos un sorprendente 26.36% de obtener 2 esquivas + el token que ya tenemos = 3 esquivas.
¿Es posible que sea más rentable realizar esquiva en vez de concentración a la hora de defender? Vemos que sí, además si tenemos suerte, hay un 5,27% de lograr ¡¡4 esquivas en total!!


Con cuatro dados gana la concentración por poco. Me imagino que podréis verlo vosotros mismos.

Obviamente concentrarse sirve para atacar y defender, siempre es buen negocio por supuesto, siempre acabamos usándolo. Pero si lo que quieres es salvar a tu nave a toda costa, esto te servirá para orientarte. Si esquivas y luego no haces más que sacar ojos y caras blancas, ¡el azar no está de tu parte amigo!

                                               ¿Acción de blanco fijado o concentración?

Está claro: Concentración. No he realizado una tabla de probabilidad de blanco fijado porque a partir de 2 dados resultaba claramente inferior comparando con concentración, todavía más desfavorable a medida que tirábamos más dados. Ahora bien, eleva mucho la probabilidad de éxito junto a concentración.

¿La realidad?

A medida que tiramos dados, la probabilidad cambia. Como estamos JUGANDO, no en una competición de matemáticas, yo solo me aprendería un poco algunas estadísticas. Puedes invertir más tiempo y sesos a la hora de elaborar una lista o decidir si equiparr un tipo de misil con el que pierdo Blanco Fijado si no voy a tener concentración por ejemplo, ese tipo de cosas.

He dedicado como 10h a esto, como dice RookieBoy, deben de quedarme como un 10% de mis family points. Se agradecen comentarios, aportes y/o correcciones.

Hasta pronto pilotos y pilotas.